共点直线系方程的几何意义

设直线 $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$, $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$. 不妨设 $A_1^2 + B_1^2 = A_2^2 + B_2^2 \neq 0$.

过两直线交点 $O$ 的直线的方程为 $$ l: \lambda (A_1x + B_1y + C_1) + \mu (A_2x + B_2y + C_2) = 0, $$ 这个方程称为过两直线 $l_1, l_2$ 交点的共点直线系方程. 考虑 $l$ 不与 $l_1, l_2$ 重合的情形，此时 $\lambda, \mu \neq 0$.

设 $l$ 与 $l_1, l_2$ 的夹角为 $\alpha, \beta$, 设 $l$ 上一点 $P$ 到 $l_1, l_2$ 的距离分别为 $d_1, d_2$, 则有 $$ d_1 = OP \cdot \sin \alpha, \qquad d_2 = OP \cdot \sin \beta. $$ 因此 $\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ 为定值.

设 $P(x_0, y_0)$, 则 $$ \lambda (A_1x_0 + B_1y_0 + C_1) + \mu (A_2x_0 + B_2y_0 + C_2) = 0 $$ 因此 $$ |\lambda| \cdot |A_1x_0 + B_1y_0 + C_1| = |\mu| \cdot |A_2x_0 + B_2y_0 + C_2| $$ 又因为 $$ A_1^2 + B_1^2 = A_2^2 + B_2^2 $$ 由点到直线的距离公式知 $$ |\lambda| , d_1 = |\mu| , d_2 $$ 进而得到 $$ |\lambda| \sin \alpha = |\mu| \sin \beta $$

🎯 几何意义
共点直线系方程的几何意义就是：$l$ 分 $l_1, l_2$ 的夹角的正弦的比为 $\left|\dfrac{\mu}{\lambda}\right|$.

💡 Remark
注意到，满足 $|\lambda| \sin \alpha = |\mu| \sin \beta$ 的直线有两条，分别穿过 $l_1$ 与 $l_2$ 所夹的锐角与钝角.