海伦公式的推论

已知三角形三边长求其面积，一般会使用海伦公式，可如果边长中带有根号，海伦公式的形式就复杂了，接下来介绍海伦公式的一个推论.

Theorem

设三角形 $ABC$ 三边长为 $a, b, c$, 设 $x, y, z$ 满足 $$ \begin{cases} x + y = a^2 \ y + z = b^2 \ z + x = c^2 \end{cases} $$

则 $Area = \frac{1}{2} \sqrt{xy + yz + zx}$.

proof. 由题意知 $$ \begin{cases} x = \frac{1}{2}(c^2 + a^2 - b^2) \ y = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2) \ z = \frac{1}{2}(b^2 + c^2 - a^2) \end{cases} $$

因此 $$ \begin{align*} & \frac{1}{2} \sqrt{xy + yz + zx} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (a^2 + b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{a^4 - (b - c)^2 + b^4 - (c - a)^2 + c^4 - (a - b)^2} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} \ & = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \ & = Area \end{align*} $$

最后一步运用了海伦公式.

Remark

由余弦定理知 $$ \begin{cases} x = ac \cos B = \vec{BA} \cdot \vec{BC} \ y = ab \cos C = \vec{CA} \cdot \vec{CB} \ z = bc \cos A = \vec{AB} \cdot \vec{AC} \end{cases} $$

于是知 $$ Area = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{BA} \cdot \vec{BC})(\vec{CA} \cdot \vec{CB})

• (\vec{CA} \cdot \vec{CB})(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AB} \cdot \vec{AC})(\vec{BA} \cdot \vec{BC})} $$