直线与椭圆相切的充要条件
对于直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, 欲判定二者是否相切,常规的办法是联立消去 $x$ (或 $y$), 得到一个关于 $y$ (或 $x$) 的一元二次方程,然后判定其判别式是否为零.但这样计算复杂.事实上,我们有如下定理
定理 直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是 $$ A^2a^2 + B^2b^2 = C^2 $$
接下来我们给出三种证法.
法一
- 若 $l$ 与 $\Gamma$ 相切,设切点为 $P(x_0, y_0)$. $\Gamma$ 在 $P$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$. 因此 $$ \begin{cases} \dfrac{x_0}{a^2} = -\dfrac{A}{C} \\ \dfrac{y_0}{b^2} = -\dfrac{B}{C} \end{cases} $$ 解得 $$ \begin{cases} x_0 = -\dfrac{Aa^2}{C} \\ y_0 = -\dfrac{Bb^2}{C} \end{cases} $$ 由 $P$ 在 $l$ 上知 $Ax_0 + By_0 + C = 0$, 代入知 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$.
- 若 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$, 取点 $P(x_0, y_0)$, 其中 $$ \begin{cases} x_0 = -\dfrac{Aa^2}{C} \\ y_0 = -\dfrac{Bb^2}{C} \end{cases} $$ 由 $$ \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = \dfrac{A^2a^4}{a^2C^2} + \dfrac{B^2b^4}{b^2C^2} = \dfrac{A^2a^2 + B^2b^2}{C^2} = 1 $$ 知点 $P$ 在 $\Gamma$ 上.进而 $P$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$. 即 $-\dfrac{A}{C} x - \dfrac{B}{C} y = 1$, 亦即 $Ax + By + C = 0$. 因此 $l$ 与 $\Gamma$ 相切.
综合 步骤 1 与 步骤 2, 定理得证.
注 证明过程中运用了椭圆上一点处的切线公式 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$.
法二
作仿射变换 $x’ = \dfrac{x}{a}, y’ = \dfrac{y}{b}$, 则 $\Gamma’: x’^2 + y’^2 = 1$ 为单位圆,$l’: Aax’ + Bby’ + C = 0$, 则原点到 $l’$ 的距离为
$$ d = \dfrac{|C|}{\sqrt{A^2a^2 + B^2b^2}} $$
因此
$$ \begin{aligned} l \text{与} \Gamma \text{相切} & \iff l’ \text{与} \Gamma’ \text{相切} \\ & \iff d = 1 \\ & \iff A^2a^2 + B^2b^2 = C^2 \end{aligned} $$
定理得证.
法三
当 $l$ 过原点时,显然 $l$ 与 $\Gamma$ 相交,且 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$. 当 $l$ 不过原点时,考虑齐次化 $1 = -\dfrac{Ax + By}{C}$, 代入 $\Gamma$ 的方程得
$$ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{(Ax + By)^2}{C^2} $$
同除 $x^2$ 化简得
$$ (B^2a^2b^2 - a^2C^2) \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + (2ABa^2b^2) \left( \dfrac{y}{x} \right) + (A^2a^2b^2 - b^2C^2) = 0 $$
其判别式为
$$ \begin{aligned} \Delta & = (2ABa^2b^2)^2 - 4(B^2a^2b^2 - a^2C^2)(A^2a^2b^2 - b^2C^2) \\ & = 4A^2B^2a^4b^4 - 4(B^2a^2b^2 - a^2C^2)(A^2a^2b^2 - b^2C^2) \\ & = 4a^2b^2C^2(A^2a^2 + B^2b^2 - C^2) \end{aligned} $$
故 $l$ 与 $\Gamma$ 相切 $\iff \Delta = 0 \iff A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$. 定理得证.
对于中心不在原点处的椭圆,我们有如下推广的定理.
定理 2 直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与椭圆 $\Gamma: \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是 $$ A^2a^2 + B^2b^2 = (Ax_0 + By_0 + C)^2 $$
对于双曲线,我们也有类似的定理.
定理 3 直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是 $$ A^2a^2 - B^2b^2 = C^2 $$
定理 2 与 定理 3 的证明留给读者思考.